ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 2/2005

Системный анализ и обработка данных

В.И. Левин

Предложено обобщение нечеткого множества Заде на случай, когда само базовое понятие – мера принадлежности элемента множеству – характеризуется некоторой неопределенностью. Для обобщения принята интервальная неопределенность и применена интервальная логика.

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что использование вместо булевых логических операций операций непрерывной логики (НЛ) – дизъюнкции  a Ú b = max (a, b),  конъюнкции a Ù  b = min (a, b)  и отрицания  `a =1 - a; b Î [0,1], совершаемых над мерами принадлежности  M_A (x)  и M_B (x) элемента  x различным множествам A  и B, где 0 £ M (×) £ 1, – позволяет обобщить стандартные операции объединения, пересечения и дополнения обычных (канторовых) множеств на случай так называемых нечетких множеств [1]. При этом дизъюнкции мер принадлежности соответствует объединение, их конъюнкции – пересечение, а отрицанию – дополнение нечетких множеств. Далее, те или иные обобщения операций НЛ позволяют вводить различные обобщения указанных стандартных операций для нечетких множеств. Так, использование логической операции упорядоченного выбора позволило ввести операцию r-композиции нечетких множеств [2], а использование линейной комбинации дизъюнкции и конъюнкции НЛ позволяет аналогичным образом ввести операцию λ-композиции таких множеств [3]. При этом исходной для операции r-композиции нечетких множеств   A, B, ..., D   является логическая операция выбора r-й по возрастанию меры принадлежности элемента x среди мер  M_A(x), M_B (x), ..., M_D (x) его принадлежности различным множествам  A, B,...,D. Результат этой операции и принимается за меру принадлежности элемента x к r-композиции множеств  A, B,...,D. А исходной для операции λ-композиции нечетких множеств  A и B  является гибридная логико-алгебраическая операция в виде линейной комбинации дизъюнкции и конъюнкции НЛ 

Результат этой операции над мерами принадлежности элемента x множествам A и B и принимается за его меру принадлежности λ-композиции этих множеств. Обе введенные операции над нечеткими множествами обобщают операции объединения и пересечения нечетких множеств, занимая промежуточное положение между ними, зависящее от значения параметра r или λ. Описанные операции над нечеткими множествами опираются на точно известные функции принадлежности элементов x, что на практике далеко не всегда осуществимо. Цель настоящей статьи – обобщение основных понятий теории нечетких множеств на случай, когда функции принадлежности известны неточно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Переход от точной меры принадлежности элемента множеству к приближенной, в виде некоторого интервала, позволяет обобщить понятие нечеткого множества. Результатом обобщения оказывается понятие сверхнечеткого множества, в котором неопределенность содержится не только в неточном задании факта принадлежности элемента множеству (когда элемент может принадлежать множеству, скажем, на 70%), но и в неточной оценке меры принадлежности элемента множеству экспертом (элемент может принадлежать множеству на (70 ± 10)%). Такое более полное введение неопределенности в понятие множества помогает строить для приложений более реалистические теоретико-множественные модели.

1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной. – М.: Мир, 1978.

2. Левин В.И. Новое обобщение операций над нечеткими множествами//Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2001. – № 1.

3. Левин В.И. Дизконъюнкция – новая логическая операция//Междунар. науч.-техн. конф. “Математические методы в экономике”: Сб. материалов. Пенза, 2002.

4. Левин В.И. Интервальная непрерывная логика и ее применение в задачах управления//Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2002. – № 1.

5. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision Making in Fuzzy Environment//Management Science. – 1970. – Vol. 17. – № 4.