ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 4/2005

Математические проблемы управления

И. Г. Исмаилов

(1)

Для определения точки периодического решения и соответствующего периода была предложена следующая процедура:

(2)

где V(t, x), V(0, x) = I, – фундаментальная матрица линейной системы дифференциальных уравнений dV/dt = f'_x(p(t, x)) V; g _k и m_k – управляющие параметры итерационной процедуры (2), (3), p(t,x) – решение системы (1) с начальным условием p(0, x) = x; вектор aÎ R^N; число b Î R, через á×,×ñ обозначено скалярное произведение в евклидовом пространстве R^N. Было доказано (см. основную теорему работы [1]), что если управляющие параметры  g _k и m_k достаточно малые положительные числа, то последовательность {x_k, t_k} сходится по норме к искомому циклу и его периоду. Однако для практического применения предложенной процедуры важно знать, каким именно оценкам должны удовлетворять параметры g_k и m_k. Цель настоящей работы состоит в получении этих оценок, исходя из свойств правой части системы (1). Итерационный алгоритм (2), (3) был опубликован в тезисах [2 – 4].

Доказанная теорема носит прикладной характер и может оказаться полезной для непосредственных вычислений на ЭВМ. Задачи, связанные с поиском неустойчивых циклов, часто встречаются в нелинейной динамике. Например при исследовании уравнений Дуффинга, Лоренца, Эно. Кроме того, в работах обширного класса для строгих аналитических доказательств применяется численный эксперимент. Суть подобных методов зачастую сводится к тому, чтобы установить отличие от нуля вращения поля, связанного с функцией последования (отображением Пуанкаре). Иногда это удается сделать благодаря устойчивости вращения к малым возмущениям поля, а следовательно, и к вычислительным ошибкам. В свете этого приведенные выше алгоритм и оценки параметров можно использовать для первоначальной локализации цикла. Впоследствии может оказаться, что на некоторой сфере с центром в точке x^* на секущей гиперплоскости вращение поля функции последования не равно нулю и, таким образом, станет возможным строго доказать существование цикла в окрестности найденного приближения.

2. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Коровин С. К. Об одном алгоритме построения предельных циклов в системах автоматического регулирования // IV междунар. семинар “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”. – М. – 1996. – С. 6.

3. Ismailov I. G. On the scheme of approximate construction of cycles of nonlinear systems // Fourth International conference on “Control, automation, robotics and vision”. – Singapore, – 1996.

4. Ismailov I. G. On the approximate construction of cycles in automatic control systems // Fourth International Symposium on “Method and Models in Automation and Robotics”. – Poland, – 1997.

5.Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференциальные уравнения. – 1970. – № 11. – С. 1946 – 1952.

6.  Бобылев Н. А., Коровин С. К. Теоремы родственности в теории нелинейных колебаний // Методы анализа нелинейных систем: Сб. науч. тр. – МГУ, Ин-т системного анализа РАН. – М., – 1997.

( (095) 334-79-00