< индекс---содержание № 6---след. статья в № 6---список рубрик >
УДК 513.88
МЕТОД ТИПА МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙИ.Г. Исмаилов, Ю.О. Кузнецов
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва
Установлена взаимосвязь между теоремой разрешимости нелинейного интегрального уравнения Гаммерштейна и сходимостью формального метода минимальных невязок. Доказана теорема сходимости метода последовательных приближений при ограничениях на ядро и нелинейность. Указано простейшее приложение.
Нелинейные интегральные уравнения естественно возникают в многочисленных задачах математики, физики, теории управления и многих прикладных дисциплин. Так, например, к ним приводит задача о вынужденных колебаниях квазилинейных систем и систем автоматического регулирования, оптимизации многоканальных объектов [1 – 4]. Начиная с работы А.М. Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости, аналитические методы исследования нелинейных уравнений развивались в работах П.С. Урысона, А.И. Некрасова, А. Гаммерштейна, Р. Иглиша, М.А. Красносельского, П.П. Забрейко и др.
Объект исследования может быть записан в общем виде:
– уравнение Урысона – и в частном:
(1)
– уравнение Гаммерштейна,
где K – линейное либо нелинейное ядро, f – неизвестная функция, G – компактное топологическое пространство, s и х – переменные.
Для приближенного решения уравнения (1) может быть применен метод механических квадратур или метод Галеркина – Петрова [5, 6].
Установлено множество теорем следующего толка. От уравнения (1) переходят к системе нелинейных уравнений путем замены интеграла конечной суммой. Тогда, если решение φ0(x) уравнения (1) изолировано в банаховом пространстве C(G) и имеет топологический индекс, отличный от нуля, то при измельчении шага квадратурного процесса множество решений конечной системы становится непустым и приближает истинное решение в некоторой метрике. Другие теоремы требуют невырожденности производной Фреше соответствующего уравнению (1) нелинейного оператора в точке φ0(x).
Те же два основных предложения гарантируют в некоторых случаях сходимость метода Галеркина для решения уравнения (1). Различные теоремы сходимости проекционных и фактор-методов для решения уравнения (1) установлены, в частности, Г.М. Вайникко.
Сам факт, что для нелинейных задач справедлив метод типа метода минимальных невязок, представляется интересным. Как упомянутая классическая теорема разрешимости уравнения Гаммерштейна дает лишь грубые достаточные условия существования решения, так и теорема 2 настоящей работы дает лишь достаточные условия сходимости итерационного процесса. И в том, и в другом случае мы ничего не можем сказать о единственности и локализации полученной функции: речь идет исключительно о некотором “корне” уравнения. Это проявление обстоятельства, о котором М.А. Красносельский писал в монографии [10]: “Единственность решения – явление нетипичное для операторных уравнений с существенными нелинейностями”. Таким образом, для выяснения куда сходится процесс и с какой скоростью необходима дополнительная информация об изучаемом уравнении. На практике в данном случае полезно то, что мы имеем дело с методом типа градиентного спуска, и параметры метода можно выбирать произвольными достаточно малыми положительными числами, уменьшая их, если сходимость не достигнута.
1. Бобылев Н.А., Исмаилов И.Г. Итерационные процедуры в задачах управления и оптимизации // Приборы и системы управления. – 1997. – № 2. – C. 15 – 18.
2. Исмаилов И.Г. О приближенном построении оптимальных управлений многоканальными сетевыми системами // Тез. докл. VI Всесоюзного совещания “Управление многосвязными системами”. – Суздаль, 1990. – С. 67–68.
3. Исмаилов И.Г. Управление динамической моделью многоканальной сети связи // Тез. докл. III Всесоюзного совещания по распределенным автоматизированным системам массового обслуживания. – Винница, 1990.
4. Исмаилов И.Г. Приближенные процедуры решения задач управления и оптимизации. – М.: МАКС Пресс, 2002.
5. Бобылев Н.А. К теории фактор-методов приближенного решения нелинейных задач // Доклады АН СССР. – 1972. – 199. – № 1. – C. 9–12.
6. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов. – Тарту: Изд-во Тартуского ун-та, 1976.
7. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1956.
8. Красносельский М.А., Крейн С.Г. Об итерационном процессе с минимальными невязками // Матем. сб. – 1952. – 31, № 2.
9. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций // М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. – М.: Наука, 1966.
10. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. – М.: Наука, 1975.
( (095) 334-79-00
E-mail: ilham_is@mail.ru