ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 6/2005

Управление в социально-экономических системах

< индекс---содержание № 6---след. статья в № 6---след. в рубрике >

УДК 336.6(075.8)

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИНВЕСТИРОВАНИЯ И ПОТРЕБЛЕНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИОННОГО РИСКА

И.Г. Наталуха

Исследованы оптимальные стратегии инвестирования и потребления агента финансового рынка, извлекающего полезность из промежуточного потребления и (или) конечного капитала. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, стохастически эволюционирующих параметров инвестиционной среды и характеристик функции полезности инвестора. Показано, какие риски следует оптимально хеджировать и как финансировать желаемый реальный (с учетом инфляции) процесс потребления инвестициями в номинальные активы.

Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы [1 – 3]. В таких условиях традиционная портфельная теория [4, 5] и классические методы финансовой математики [6], представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными и неспособными объяснить как поведение финансовых временных рядов, так и несоответствие практических рекомендаций по размещению капитала в рисковые активы теоретическим предсказаниям [7, 8], полученным в предположении о постоянных инвестиционных возможностях, т. е. постоянных процентных ставках, ожидаемых доходностях активов, волатильностях и корреляциях доходностей.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность из промежуточного потребления в различные моменты времени [9, 10], а не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастических параметров инвестиционной среды.

Впервые задача оптимизации портфеля в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах [11, 12], однако полученные в явном виде решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по своей природе. За редким исключением [9, 13], в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно [14 – 17], что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение. Точные аналитические решения получены лишь в наиболее простых частных случаях. Так, при простой стохастической динамике цен рисковых активов и в предположении о постоянстве процентных ставок и волатильностей цен активов точное решение задачи инвестирования без учета промежуточного потребления найдено в работе [13]. В работе [9] в предположении о бесконечном временном горизонте получено приближенное аналитическое решение задачи инвестирования (в условиях, когда краткосрочные процентные ставки постоянны, но рисковые премии описываются стохастическим процессом), однако оно явно не связано с задачей оптимального потребления.

В условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск (заметим, что в работах [9 – 17] инфляция не учитывается). Инфляция служит одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций. Хеджирование инфляционного риска представляет собой нетривиальную задачу, поскольку на финансовых рынках предлагаются только номинальные облигации, которые наряду с депозитами имеют рисковые реальные доходности.

В настоящей работе исследуются оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической (в том числе немарковской) динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей (мгновенных средних квадратических отклонений) цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя полезность промежуточного потребления и(или) конечного капитала) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Показано, какие риски следует оптимально хеджировать агенту финансового рынка и как финансировать реальный процесс потребления с учетом инфляции.

В работе предложена и исследована весьма общая модель полного финансового рынка номинальных ценных бумаг, цены которых описываются непрерывными стохастическими (не обязательно марковскими) процессами. Процентные ставки, ожидаемые избыточные доходности рисковых активов, ценовые волатильности, корреляции доходностей активов и инфляция описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Доказана теорема, дающая явную характеристику оптимальных стратегий инвестирования и потребления инвестора с функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. Проанализирована структура оптимального портфеля и выяснено, какие риски, связанные со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями, следует хеджировать. Предварительный анализ показывает, что при конкретной динамике процентных ставок [18] и стохастической динамике акций, облигаций и производных ценных бумаг предложенная модель позволяет получать различные виды портфелей хеджирования (и выявлять механизмы хеджирования) при различных функциях полезности и различных уровнях относительного неприятия риска инвестора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Eichengreen B. Financial crises and what to do about them. – Oxford: Oxford University Press, 2002.

2. Sornette D. Why stock markets crash. – Princeton: Princeton University Press, 2002.

3. Наталуха И.Г. Моделирование спекулятивного бума на финансовом рынке с учетом психологии инвесторов // Материалы VI всеросс. симпозиума “Математическое моделирование и компьютерные технологии”. – Кисловодск, 2004. – Т. 2. – С. 7–8.

4. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. – М.: ИНФРА-М, 2003.

5. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. – СПб.: Питер, 2000.

6. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: Дело, 2002.

7. Samuelson P.A. The long-term case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. – 1994. – Vol. 21, N 1. – Р. 15–24.

8. Canner N., Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. – 1997. – Vol. 87, N 2. – P. 181–191.

9. Campbell J.Y., Viceira L.M. Consumption and portfolio decisions when expected returns are time – varying // Quarterly Journal of Economics. – 1999. – Vol. 114, N 2. – Р. 433–495.

10. Наталуха И.Г. Мартингальный подход к задачам определения оптимальных стратегий инвестирования и потребления // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Общественные науки (Приложение к журналу). – 2002. – N 2. – С. 64–70.

11. Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous – time case // Review of Economics and Statistics. – 1969. – Vol. 51, N 2. – Р. 247–257.

12. Merton R.C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous – time model // Journal of Economic Theory. – 1971. – Vol. 3, N 2. – Р. 373–413.

13. Kim T.S., Omberg E. Dynamic nonmyopic portfolio behaviour // Review of Financial Studies. – 1996. – Vol. 9, N 1. – Р. 141–161.

14. Balduzzi P., Lynch A.W. Transaction costs and predictability: some utility cost calculations // Journal of Financial Economics. – 1999. – Vol. 52, N 1. – Р. 47–78.

15. Barberis N. Investing for the long run when returns are predictable // Journal of Finance. – 2000. – Vol. 55, №1. – Р. 225–264.

16. Brandt M.W. Estimating portfolio and consumption choice: a conditional Euler equations approach // Journal of Finance. – 1999. – Vol. 54, N 6. – Р. 1609–1645.

17. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset allocation // Journal of Economic Dynamics and Control. – 1997. – Vol. 21, N 7. – Р. 1377–1403.

18. Duffie J.D. Dynamic asset pricing theory. Princeton: Princeton University Press, 1996. 

19. Pliska S.R. A stochastic calculus model of continuous theory: optimal portfolios // Mathematics of Operations Research. – 1986. – Vol. 11, N 2. – P. 371–382.

20. Cox J.C., Huang C.-F. A variational problem arising in financial economics // Journal of Mathematical Economics. – 1991. – Vol. 29, N 3. – P. 465–487.

         ( (87937) 4-81-64