< индекс---содержание № 1---след. статья в № 1---след. в рубрике >
УДК 681.511
ДУАЛЬНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ[1]
А.Н. Жирабок
Дальневосточный государственный технический университет, г. Владивосток
Установлена дуальность свойств наблюдаемости и управляемости нелинейных непрерывных и дискретных динамических систем.
Известно, что для линейных динамических систем наблюдаемость и управляемость являются дуальными понятиями [1], причем эта дуальность выражается средствами аппарата теории матриц. Известен также факт дуальности наблюдаемости и управляемости в нелинейном непрерывном случае для специального класса систем [2], проявляющийся в дуальности векторных полей и дифференциальных форм. Для нелинейных дискретных динамических систем такая дуальность установлена в работе [3] средствами специального математического аппарата – алгебры функций [4] и носит теоретико-категорный характер. В работе [5] были рассмотрены так называемые разложимые системы в некоторой категории и показана дуальность наблюдаемости и управляемости в этом случае.
Естественным представляется тот факт, что дуальность выражается средствами того математического аппарата, с помощью которого анализируются наблюдаемость и управляемость.
Настоящая работа является естественным продолжением работы [3] на класс нелинейных непрерывных и дискретных динамических систем, описываемых уравнениями
x(t) = f(x(t), u(t), y(t) = h(x(t)) (1)
и
x (t + 1) = f (x(t), u (t)), y (t) = h (x(t)), (2)
соответственно, где x Î X Í Rn, u Î U Í Rm, y Î Y Í Rl – векторы состояния, управления и выхода, f и h – в общем случае нелинейные векторные функции. Будем обозначать системы (1) и (2) пятеркой S = (X, U, Y, f, h). Задача настоящей работы заключается в установлении вида дуальности наблюдаемости и управляемости для рассматриваемого класса систем.
Согласно работам [2, 3] систему S будем называть ненаблюдаемой, если существуют состояния x(t0) и x'(t0) такие, что для произвольного управления u(t) на интервале [t0, ¥) выполняется равенство H(x(t0), u(t)) = H(x'(t0), u(t)), где H(x(t0), u(t)) – выходная реакция системы S в начальном состоянии x(t0) на управление u(t), t > t0. Состояния x(t0) и x'(t0) будем называть эквивалентными. Систему S будем называть неуправляемой, если для некоторого состояния x0 существует такое состояние x¢, что ни для какого конечного интервала t1 – t0 не существует управления u(t), переводящего систему из состояния x0 = x(t0) в состояние x' = x(t1).
Для анализа общих свойств наблюдаемости и управляемости будем использовать конструкцию гомоморфизма систем [6, 7].
Таким образом, для анализа свойств наблюдаемости и управляемости нелинейных непрерывных и дискретных динамических систем на основе специального математического аппарата (алгебры функций) получен ряд соотношений. Нетрудно видеть, что основные конструкции алгебры функций вводились дуальными парами (диаграммы (6) – (8) и определения операторов M и m). Дуальность здесь понимается в теоретико-категорном смысле как совпадение соответствующих коммутативных диаграмм с точностью до инвертирования стрелок (кроме тех из них, которые описывают рассматриваемые системы). В её основе лежит дуальность, установленная для разложимых систем [5, 9]. Дуальными же получаются и соотношения, описывающие задачи наблюдаемости и управляемости: (9) и (13), (10) и (14) (сравните также правую диаграмму (3) и (12), диаграммы (4) и (5), (11) и (15)); заметим, что свойства инъективности и суръективности функций также являются дуальными понятиями [8].
Отметим, что по сравнению с дискретным случаем [3] число дуальных пар уменьшилось, в частности, перестали быть дуальными почти все свойства операций и операторов алгебры функций. Нетрудно видеть, что это – естественный результат расширения класса рассматриваемых систем до непрерывных и дискретных. Главный вывод, тем не менее, сохранился: дуальность свойств наблюдаемости и управляемости в нелинейном случае – это теоретико-категорная дуальность.
1. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. – М.: Наука, 1980. – 376 с.
2. Hermann R., Krener A.J. Nonlinear controllability and observability // IEEE Trans. Automat. Control. – 1977. – Vol. AC-22. – № 5. – P. 728 – 740.
3. Жирабок А.Н. Дуальность свойств наблюдаемости и управляемости нелинейных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. – 1998. – № 1. – С. 5 – 8.
4. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных динамических систем, описываемых уравнениями с полиномиальной правой частью // Автоматика и телемеханика. – 1987. – № 8. – С. 154 – 164.
5. Arbib M., Manes E. Foundation of system theory: decomposable systems // Automatica. – 1974. – Vol. 10. – P. 285 – 302.
6. Hartmanis J., Stearns R. Algebraic structure theory of sequential machines. – N.-Y.: Prentice-Hall Inc., 1966. – 211 p.
7. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. – М.: Мир, 1971. – 400 с.
8. Голдблат Р. Топосы. Категорный анализ логики. – М.: Мир, 1983. – 488 с.
9. Данилов В.В., Жирабок А.Н. Управляемость и наблюдаемость разложимых систем // Кибернетика и вычислительная техника. – 1987. – Вып. 73. – С.19 – 26.
( (4232) 45-08-64
E-mail zhirabok@mail.ru
[1] Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 03-01-00791) и Министерства образования и науки РФ.