ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 3/2005

Математические проблемы управления

УДК 517.96+681.3

ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ МЕР И ИНТЕГРАЛОВ К ОПИСАНИЮ НЕЧЕТКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин

Рассмотрен подход к учету нечеткости окрестностей по состоянию дискретно-временных систем на основе использования нечетких мер и интегралов.

ВВЕДЕНИЕ  

 Нечеткие меры и интегралы широко исследуются в современной прикладной математике, прежде всего, в связи с проблемами искусственного интеллекта [1]. Естественная область их определения и изучения, мотивируемая значительным числом приложений, находится в рамках элементарной теории конечных мер и интегралов на булеанах над полукольцами [2].

Нечеткие системы Вольтерра введены и исследованы в работе [3] в качестве примера реализации подхода к учету нечеткости окрестностей по состоянию дискретно-временных систем. В работе [3] обсуждается скалярная линейная нестационарная дискретная система Вольтерра

(1)

,                                                          

где t Î N = {0,1,...}  – дискретное время, x[t] Î Rⁿ    – вектор состояния системы, a [t,t]  –  коэффициенты. Скалярная нечеткая линейная по состояниям дискретная система типа Вольтерра описывается сопоставимым с выражением (1) уравнением

(2)

,                                                                        

где m [t;t ]  Î [0,1] – функции принадлежности.

Цель данной работы – показать, что нечеткие меры и интегралы являются подходящим математическим аппаратом для описания нечетких динамических систем. Систематическое изложение этого аппарата и его приложений к проблемам нечеткости и мягких вычислений можно найти в работе [4]. В последнее время нечеткие меры и интегралы интенсивно применяются в задачах агрегирования критериев при многокритериальном принятии решений [5 – 8].

Отметим, что нечеткие системы Вольтерра–Сугено и Вольтерра–Маслова не являются линейными в обычном смысле слова, но “линейны” над соответствующими идемпотентными полукольцами, подобно отмеченной выше аддитивности мер. Это одно из простейших в современной прикладной математике проявлений основной парадигмы идемпотентной математики [9], выражаемой идемпотентным принципом эвристического соответствия между важными, полезными и интересными конструкциями и результатами традиционной математики над числовыми полями и аналогичными конструкциями и результатами над идемпотентными полукольцами и полуполями. Идемпотентная математика, возникающая как двойник или “тень” традиционной, соотносится с последней примерно так же, как классическая физика с квантовой; переход от традиционной математики к идемпотентной трактуется как “деквантование” или “вторичное деквантование”. Во многих отношениях идемпотентная математика проще традиционной; однако переход от традиционных понятий и результатов к их идемпотентным аналогам часто нетривиален. Некоторые соотношения между линейной и “линейной” алгебрами обсуждены в работе [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Блюмин С.Л. Математические проблемы искусственного интеллекта: регулярность по Дж. фон Нейману в линейной           и “линейной” алгебрах // Системы управления и информационные технологии. – 2003. – № 1-2 (12). – С. 90 – 94.

2.Блюмин С.Л. Конечные меры и интегралы на булеанах над полукольцами // Материалы Воронеж. весенней мат. школы “Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения – XV” / ВГУ. – Воронеж, 2004. – С. 35.

3. Блюмин С.Л., Шмырин А.М. Нечеткие системы Вольтерра // Проблемы управления. – 2004. – № 4. – С. 75 – 78.

4.  Grabisch M., Murofushi M., Sugeno M. Fuzzy Measures and Integrals – Theory and Applications. Studies in Fuzziness and Soft Compuing. Vol. 40. – Heidelberg: Springer-Verlag, 2000. – 543 p.

5. Yager R. Criteria aggregations functions using fuzzy measures and the Choquet integral // Int. J. of Fuzzy Systems. – 1999. – Vol. 1, N 2. – P. 96 – 112.

6. Ovchinnikov S. Piecewise linear aggregation functions // Int. J. of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. – 2000. – Vol. 1, N 1. – P. 11 – 22.

7. Klement E., Mesiar R., Pap E. Measure-based aggregation operators // Fuzzy Sets and Systems. – 2004. – Vol. 142, N 1. – P. 3 – 14.

8. Calvo T., Pradera A. Double aggregation operators // Fuzzy Sets and Systems. – 2004. – Vol. 142, N 1. – P. 15 – 33.

9. Литвинов Г.Л., Маслов В.П. Идемпотентная математика // Докл. Воронеж. зимней мат. школы “Современный анализ и его приложения” / ВГУ. – Воронеж, 2000. – С. 20 – 21.

10.  Блюмин С.Л., Шмырин А.М. Нечеткие окрестностные конечные системы // Материалы Воронеж. весенней мат. школы “Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения – XIV” / ВГУ. – Воронеж, 2003. – С. 26.