< индекс---содержание № 6---след. статья в № 6---след. в рубрике >
УДК 681.51
ОБ ОБРАЩЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ[1]
А.Е. Шумский
Институт автоматики и процессов управления, г. Владивосток
Рассмотрена задача обращения динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями с гладкими функциями. Сформулированы достаточные условия существования обратной системы. Установлено соответствие между конструкциями алгебры функций, привлекаемыми для решения задачи, и математическими конструкциями, используемыми в рамках дифференциально-геометрического подхода. Предложен метод обращения для аффинных систем.
Многие задачи теории управления, параметрической идентификации и технической диагностики могут быть сведены к задаче обращения математической модели исследуемого объекта или процесса [1]. Задача обращения формулируется следующим образом: система (объект или процесс) содержит неизвестные входы; необходимо оценить значения этих входов в реальном времени посредством обработки измеряемых входов и выходов системы, а также их производных по времени. В задачах управления в качестве неизвестных входов могут рассматриваться управляющие воздействия, которые требуется сформировать на основе эталонных значений выходов системы. В задачах параметрической идентификации – это неизвестные параметры, значения которых подлежат оцениванию в реальном времени, а в задачах технической диагностики – параметры, искажаемые дефектами.
В большинстве работ по обращению рассматривались линейные системы (см. обширный библиографический список, приведенный в работе [1]). В настоящей статье рассматриваются нелинейные динамические системы, описываемые моделью
x(t) = f (x(t), u(t)) + g(x(t)) v(t), y(t)=h(x(t)), (1)
где x(t) Î X Í Rn, u(t) Î U Í Rm, v(t)Î V Í Rs, y(t) ÎY Í Rl – векторы состояния, управления, неизвестных входов и измеряемых выходов системы, f, g и h – соответственно, векторные и матричная функции, компоненты которых – суть гладкие функции, t – время. Задача состоит в нахождении описания системы, входами которой служат векторы u(t), y(t) и их производные по времени, а выходом – вектор v(t).
Задача обращения в аналогичной постановке решалась в работе [2] для аффинных систем с использованием дифференциально-геометрического подхода [3]. К сожалению, достоверность полученных в ней результатов подлежит сомнению (см. Пример § 3).
Цель настоящей работы состоит в изложении алгебраического и дифференциально-геометрического подходов к синтезу обратной системы.
Рассмотрена задача обращения нелинейных динамических систем вида (1). Сформулированы достаточные условия существования обратной системы (условия (8) и (12)). Показано, что синтез обратной системы сводится к задаче полной развязки от неизвестных входов. На основе дифференциально-геометрического подхода для аффинных систем предложено развитие полученного ранее [5] решения задачи полной развязки. Новое решение позволяет упростить синтез обратной системы и осуществить его поддержку имеющимися пакетами прикладных программ, оперирующими аналитическими выражениями.
1. Goodwin G. C. Inverse problems with constraints // CD-ROM Рroc. of the 15th World Congress IFAC. – Barcelona, Spain, 2002.
2. Edelmayer A., Bokor J., Szabo Z., Szigeti F. Input reconstruction by means of system inversion: a geometric approach to fault detection and isolation in nonlinear systems // Int. J. AMCS. – 2004. – Vol. 14, N 2. – P. 189–199.
3. Isidori A. Nonlinear control systems. – Springer Verlag, 3rd Ed. – 1995.
4. Birk J., Zeitz M. Extended Luenberger observer for nonlinear multivariable systems // Int. J. Control. – 1988. – Vol. 47, N 6. – P. 1823–1836.
5. Шумский А.Е. Поиск дефектов в нелинейных системах методом функционального диагностирования // Автоматика и телемеханика. – 1991. – № 12. – С. 148–155.
6. Жирабок А. Н., Шумский А.Е. Управляемость, наблюдаемость, декомпозиция нелинейных систем // Владивосток: ДВГТУ, 1993. – 128 с.
7. Жирабок А. Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных динамических систем, описываемых уравнениями с полиномиальной правой частью // Автоматика и телемеханика. – 1987. – № 8. – С. 154–164.
8. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям // М.: Мир, 1989. – 637 с.
( (4232) 43-73-70
Е-mail: shumsky@mail.primorye.ru
[1] Работа поддержана грантом № 03-01-00791 Российского фонда фундаментальных исследований.