< индекс---содержание № 3---след. статья в № 3---след. в рубрике >
УДК 513.88
ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ЦИКЛОВ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Ч. 1. Сходимость
И. Г. Исмаилов
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва
Предложен новый алгоритм приближенного построения цикла автономной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритм обладает локальной сходимостью и эффективен в случае неустойчивых циклов.
Будем рассматривать задачу приближенного построения цикла автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если некоторый цикл Г орбитально асимптотически устойчив, то задача его приближенного построения, как правило, не вызывает затруднений: если начальное условие x
0 решения p(t,x0) системы достаточно близко к циклу Г, то
Таким образом, если отыскиваемый орбитально асимптотически устойчивый цикл достаточно хорошо локализован, то применением какого-либо метода численного интегрирования можно получить сколь угодно точное приближение к циклу. Однако во многих важных ситуациях (например, в задачах хаотической динамики) отыскиваемые циклы, как правило, неустойчивы. Задача приближенного построения таких циклов становится существенно сложнее. Один из приемов приближенного построения неустойчивых циклов автономных систем базируется на комбинации метода функционализации параметра [1] и какого-либо дискретизационного метода (метода механических квадратур, метода коллокации и др.) (см., например, работы [2, 3]).
Однако такой подход весьма трудоемок в вычислительном отношении и требует дополнительной информации об отличии от нуля топологического индекса отыскиваемого цикла. Поэтому представляет интерес разработка и исследование простых в применении итерационных алгоритмов приближенного построения неустойчивых циклов. Один из таких алгоритмов принадлежит Спарроу (C. Sparrow) [4]. Этот алгоритм базируется на методе Ньютона, поэтому реализация алгоритма Спарроу на каждом шаге требует обращения специальных матриц. Это обстоятельство существенно уменьшает диапазон применимости алгоритма и делает его неэффективным в вырожденных и плохо обусловленных задачах. В данной работе предлагается новый итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем, эффективный для неустойчивых периодических решений. Этот результат был опубликован в тезисах докладов [5–7].
Предположение о трансверсальности плоскости p искомому циклу Г не является ограничительным. Изменяя параметры и этого всегда можно добиться при условии некоторой начальной локализации. Равенства (7) и (8) фактически означают изолированность критической точки {x*, T*} функции невязки W(x,t) , при этом отсутствует требование невырожденности минимума этой функции. Заметим, что задача поиска цикла сложнее в случае автономной системы, чем в случае T-периодической, где априори известен период. Предложенная схема дает как начальное приближение, так и значение периода искомого периодического решения системы (1). Схема может быть реализована с помощью любого профессионального пакета вычислительных алгоритмов, например Matlab или Mathematic.
1. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференциальные уравнения. – 1970. – № 11. – С. 1946 – 1952.
2. Бобылев Н. А. К теории фактор-методов приближенного решения нелинейных задач // Доклады АН СССР. – 1972. – Т. 199, № 1. – С. 9 – 12.
3. Бобылев Н. А. Метод механических квадратур в задаче о периодических решениях // Успехи математических наук. – 1972. – Т. XXVII, вып. 4 (166). – С. 203 – 204.
4. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors. – New York: Springer, 1982.
5. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Коровин С. К. Об одном алгоритме построения предельных циклов в системах автоматического регулирования // IV междунар. семинар “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”. – М., 1996. – С. 6.
6. Ismailov I. G. On the scheme of approximate construction of cycles of nonlinear systems // Fourth intern. conf. on “Control, automation, robotics and vision”. – Singapore, 1996.
7. Ismailov I. G. On the approximate construction of cycles in automatic control systems // Fourth intern. symp. on “Method and Models in Automation and Robotics”. – Poland, 1997.
( (095) 334-79-00
E-mail: Ilkham@ukr.net